Top1: Diketahui sebuah balok ABCDEFGH dengan panjang AB 8 Cm,BC 6 Cm Top 2: Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 8 cm - Roboguru 3 Garis PQ memotong garis HB di S. 4) Buat garis melalui titik S sejajar garis AC dan EG hingga memotong rusuk CG di R. Perhatikan gambar berikut! Ruas garis RS adalah jarak antara garis CG dan HB yang diminta. R S = Q C = 1 2 A C = 1 2 A B 2 + B C 2 = 1 2 12 2 + 12 2 R S = 6 2. Jadi, jarak antara garis CG dan HB adalah 6 2 cm. b. 12SMA Matematika GEOMETRI Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk AB = 12 cm. M adalah titik potong diagonal AC dan BD. Tentukan jarak titik E ke garis GM. Jarak Titik ke Garis Dimensi Tiga GEOMETRI Matematika Rekomendasi video solusi lainnya 02:45 Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jara 02:02 2Diketahui MN = 10 cm dan panjang jari-jari MA = 4 cm dan NB = 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan AB! Perhatikanlah gambar di samping, KL adalah garis singgung persekutuan. AK = 8 cm, AB = 13 cm dan BL = 3 cm. Hitung panjang ruas garis KL . Perhatikan gambar di samping, diketahui BD = 4 cm dan CD = 9 cm. Berapakah panjang garis Top5: Tentukan panjang busur lingkaran yang diketahui su - Roboguru; Top 6: Panjang busur lingkaran yang berjari - Tokoh Herkenal - termasyhur.com; Top 7: Panjang busur lingkaran yang berjari-jari 7 cm - Lovely Ristin; Top 8: Top 9 tentukan panjang busur ab dengan sudut pusat 120 derajat Top 9: Siap Menghadapi Ujian Nasional SMP DiketahuiT.ABC adalah limas segitiga beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tengah 6√2 cm, serta titik E di tengah rusuk TC. dengan ruas garis AB = BC = 5√2 cm dan TA = 13 cm. Hitunglah jarak titik A ke ruas garis TC… - Rebbosetau Diketahui Limas Segitiga Beraturan T Abc Panjang Ab 6 Cm - Ini Aturannya BerartiAD pun akan lebih panjang dari AB, dan demikian seterusnya. Jadi, ruas garis terpendek dari contoh permasalahan di atas yakni ruas garis AB. Dengan begitu dapat kita simpulkan bahwa jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB. Hal ini karena ruas garis AB yaitu ruas garis tegak lurus antara titik A ke garis g. PanjangAB = 15 cm, AD = 12 cm dan CB = 6 cm. Panjang AK = 6 cm 9 cm 10 cm 12 cm SI S. Indah Master Teacher Mahasiswa/Alumni Universitas Lampung Jawaban terverifikasi Jawaban jawaban yang tepat adalah C. Pembahasan Segitiga CBK sebangun dengan segitiga ADK, sebab CB Sejajar AD. Akibatnya: Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 2rb+ 4.6 (6 rating) Ringkasan . nyatakan sudut² berikut ini sebagai sudut lancip,tumpul,siku² a.1/6 sudut lurus .Diketahui sebuah segitiga siku-siku di A dengan besar sudut B adalah 35o. Hitung nilai x jika sudut C nya adalah sebesar 5x. . Diketahui suku ke4 dan suku ke6 pada suatu barisan geometri adalah U4=54 dan U6=486. 12 cm ⁡ =12\\operatorname{cm} = 12 cm *Kita ketahui bahwa OC adalah setengah dari AC sehingga : O C = 1 2 A C OC=\\frac{1}{2}AC OC = 2 1 A C = 1 2. 12 =\\frac{1}{2}.12 = 2 1 .12 = 6 cm ⁡ =6\\operatorname{cm} = 6 cm *Lalu perhatikan segitiga TOC Berikut ! kita akan mencari panjang TO dengan menggunakan teorema phytagoras. T O = T C 2 − O 3aU3. Blog Koma - Salah satu dalil garis pada segitiga yang tidak kalah penting adalah dalil Stewart. Pada artikel ini kita membahas materi dalil Stewart pada segitiga dan pembuktiannya. Salah satu kegunaan dalil Stewart adalah untuk membuktikan rumus panjang garis berat dan panjang garis bagi sebuah segitiga. Dan untuk mudah dalam membuktikan, silahkan baca tentang dalil proyeksi pada materi "Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya". Konsep Dalil Stewart pada Segitiga Dalil Stewart menyatakan hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi yang ada dihadapan sudut tersebut. perhatikan gambar segitiga ABC berikut, Jika titik D terletak pada sisi BC pada sigitiga ABC, sehingga panjang $ BD = m , \, DC = n , \, $ dan $ m + n = a , \, $ maka panjang sebarang garis $ AD = d \, $ yaitu $ AD^2 . BC = AC^ + AB^2 . DC - \, $ atau $ \, d^2 . a = b^ + c^2 . n - $ Contoh soal Dalil Stewart pada segitiga 1. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm. Titik D terletak pada sisi BC dengan BD = 2 cm dan titik E terletak pada sisi AC dengan panjang AE = 4 cm. Tentukan panjang DE? Penyelesaian *. Kita gunakan dalil Stewart. *. Menentukan panjang AD dengan dalil Stewart pada $\Delta$ABC $ \begin{align} AD^2 . BC & = BD. AC^2 + - \\ AD^2 . 8 & = 2. 6^2 + - \\ AD^2 . 8 & = 72 + 96 - 96 \\ AD^2 . 8 & = 72 \\ AD^2 & = 9 \\ AD & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $ Sehingga panjang AD = 3 cm. *. Menentukan panjang DE dengan dalil Stewart pada $\Delta$ADC $ \begin{align} DE^2 . AC & = + - \\ DE^2 . 6 & = + - \\ DE^2 . 6 & = 18 + 144 - 48 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 96 \\ DE^2 . 6 & = 114 \\ DE^2 & = 19 \\ DE & = \sqrt{19} \end{align} $ Jadi, panjang DE = $\sqrt{19} $ cm. 2. Pada sebuah segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Pada perpanjangan AB terdapat titik D, sehingga BD = 1/2 AD. Hitunglah panjang CD. Penyelesaian *. Karena panjang BD = 1/2 AD, maka BD = AB = 8 cm. *. Gambar ilustrasinya *. Kita terapkan dalil stewart pada segitiga ACD. $ \begin{align} CB^ & = + - \\ 7^ & = + - \, \, \, \, \, \text{bagi 8} \\ & = CD^2 + 36 - \\ 98 & = CD^2 + 36 - 128 \\ 98 & = CD^2 -92 \\ CD^2 & = 190 \\ CD & = \sqrt{190} \end{align} $ Jadi, panjang $ CD = \sqrt{190} \, $ cm. Catatan soal nomor 2 ini bisa diselesaikan menggunakan rumus panjang garis berat. 3. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan AC = 8 cm, AB = 6 cm dan BC = 12 cm. Titik D pada AB dan titik E pada AC sehingga ADAB = 13 dan BE = CE. Hitunglah panjang DE! Penyelesaian *. Panjang ADAB = 13 , Panjang $ AD = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} . 6 = 2 $. Panjang $ DB = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} . 6 = 4 $. Misalkan panjang $ BE = EC = x , \, $ sehingga $ EA = 8 - x $. *. Ilustrasi gambar segitiga ABC. *. Dalil Stewart pada $\Delta$ABC menentukan panjang BE $x$, $ \begin{align} BE^ & = + - \\ x^ & = + 8-x.12^2 - x.8-x.8 \\ 8x^2 & = 36x + 1152 - 144x - 64x + 8x^2 \\ 172x & = 1152 \\ x & = \frac{1152}{172} = \frac{288}{43} \end{align} $ Sehingga panjang $ BE = x = \frac{288}{43} \, $ cm. Panjang $ EA = 8 - x = 8 - \frac{288}{43} = \frac{56}{43} $ . *. Kita terapkan dalil stewart pada segitiga AEB. $ \begin{align} DE^ & = + - \\ DE^ & = 2.\frac{288}{43}^2 + 4.\frac{56}{43}^2 - \\ DE^ & = 2.\frac{82944}{1849} + 4.\frac{3136}{1849} - 48 \\ DE^ & = \frac{165888}{1849} + \frac{12544}{1849} - 48 \\ DE^ & = \frac{178432}{1849} - 48 \\ DE^ & = \frac{178432}{1849} - \frac{88752}{1849} \\ DE^ & = \frac{89680}{1849} \\ DE^2 & = \frac{89680}{11094} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \end{align} $ Jadi, panjang $ DE = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \, $ cm. 4. Diketahui ada sebuah trapesium. Sisi-sisi sejajar trapesium adalah 16 cm dan 10 cm. Panjang kaki-kakinya 8 cm dan 10 cm. Hitunglah panjang kedua diagonalnya! Penyelesaian *. ilustrasi gambar trapesiumnya. *. Misalkan panjang $ AC = x \, $ dan $ BD = y $ . Misalkan juga $ AE = x_1 , \, EC = x_2, \, DE = y_1, \, EB = y_2 $ dengan $ x_1 + x_2 = x \, $ dan $ \, y_1 + y_2 = y $. *. Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC. Karena sebangun, maka perbandingan sisi yang bersesuaian sama. $ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{5}{8} $. Sehingga $ x_1 = \frac{5}{13} x \, $ dan $ x_2 = \frac{8}{13}x $. $ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{5}{8} $. Sehingga $ y_1 = \frac{5}{13} y \, $ dan $ y_2 = \frac{8}{13}y $. *. Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD. $ \begin{align} DE^ & = + - \\ y_1^ & = + - \, \, \, \, \, \text{....persi} \end{align} $ *. Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB. $ \begin{align} BE^ & = + - \\ y_2^ & = x_1.16^2 + - \, \, \, \, \, \text{....persii} \end{align} $ *. Eliminasi persi dan persii, $ \begin{array}{cc} y_1^ = + - & \\ y_2^ = x_1.16^2 + - & - \\ \hline xy_1^2 - y_2^2 = -192x_1 & \end{array} $ *. Substitusi nilai $ x_1, y_1 , y_2 $, $ \begin{align} xy_1^2 - y_2^2 & = -192x_1 \\ x\frac{5}{13} y^2 - \frac{8}{13} y^2 & = -192.\frac{5}{13} x \\ x\frac{25}{169} y^2 - \frac{64}{169} y^2 & = -192.\frac{5}{13} x \\ x.\frac{-39}{169} y^2 & = -192.\frac{5}{13} x \\ \frac{39}{169} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ \frac{3}{13} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ 3 y^2 & = 192 . 5 \\ y^2 & = \frac{ = 64 . 5 \\ y & = \sqrt{64. 5} = 8 \sqrt{5} \end{align} $ *. Menerapkan dalil stewart pada segitiga ADB. $ \begin{align} AE^ & = + - \\ x_1^ & = + - \, \, \, \, \, \text{....persiii} \end{align} $ *. Menerapkan dalil stewart pada segitiga CDB. $ \begin{align} CE^ & = + - \\ x_2^ & = + - \, \, \, \, \, \text{....persiv} \end{align} $ *. Eliminasi persiii dan persiv, $ \begin{array}{cc} x_1^ = + - & \\ x_2^ = + - & - \\ \hline yx_1^2 - x_2^2 = -156y_1 + 36y_2 & \end{array} $ *. Substitusi nilai $ x_1,x_2, y_1 , y_2 $, $ \begin{align} yx_1^2 - x_2^2 & = -156y_1 + 36y_2 \\ y\frac{5}{13} x^2 - \frac{8}{13} x^2 & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y\frac{25}{169} x^2 - \frac{64}{169} x^2 & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y.\frac{-39}{169} x^2 & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ \frac{-3}{13} x^2 & = -156.\frac{5}{13} + 36. \frac{8}{13} \\ -3 x^2 & = + 36. 8 \\ -3 x^2 & = -492 \\ x^2 & = 164 \\ x & = \sqrt{164} \end{align} $ Jadi, panjang diagonal-diagonalnya adalah $ 8 \sqrt{5} \, $ cm dan $ \sqrt{164} \, $ cm. 5. Sisi-sisi sejajar sebuah trapesium 6 cm dan 36 cm. Panjang diagonalnya 21 cm dan 28 cm. Hitunglah panjang kaki-kaki trapesium tersebut! Penyelesaian *. Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini. *. Menentukan panjang masing pada trapesium. Diagonal AC = 28 cm, diagonal BD = 21 cm. Sisi-sisi sejajar AD = 6 cm dan BC = 36 cm. *. Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC. $ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{1}{6} $ Sehingga $ AE = \frac{1}{7} AC = \frac{1}{7}. 28 = 4 \, $ dan $ EC = \frac{6}{7} AC = \frac{6}{7}. 28 = 24 $ . $ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{1}{6} $ Sehingga $ DE = \frac{1}{7} BD = \frac{1}{7}. 21 = 3 \, $ dan $ EB = \frac{6}{7} BD = \frac{6}{7}. 21 = 18 $ . *. Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD. $ \begin{align} DE^ & = + - \\ 3^ & = + - \\ 252 & = + 864 - 2688 \\ 252 & = - 1824 \\ & = 2076 \\ CD^2 & = \frac{2076}{4} = 519 \\ CD & = \sqrt{519} \end{align} $ *. Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB. $ \begin{align} BE^ & = + - \\ 18^ & = 4.36^2 + - \\ 9072 & = 5184 + - 2688 \\ & = 6576 \\ AB^2 & = 274 \\ AB & = \sqrt{274} \end{align} $ Jadi, panjang kaki-kaki trapesium tersebut adalah $ \sqrt{519} \, $ cm dan $ \sqrt{274} \, $ cm. Pembuktian Dalil Stewart dengan aturan Cosinus Untuk pembuktian pertama ini kita akan menggunakan aturan cosinus. Teori aturan cosinus bisa di baca pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga". *. Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas. khususnya adalah $ m + n = a $. *. Misalkan sudut $ ABD = y \, $ dan sudut $ ADC = x $. Sudut $ x \, $ dan $ y \, $ saling berpelurus, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$. $ y + x = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - x $. Sehingga $ \cos y = \cos 180^\circ - x = - \cos x $. *. Aturan Cosinus pada segitiga ABD, $ c^2 = d^2 + m^2 - .\cos y $ $ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 - .-\cos x $ $ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x \, $ , kalian dengan $ n \, $ kedua ruas $ c^ = d^ + m^ + 2dmn\cos x \, $ ....persi. *. Aturan Cosinus pada segitiga ACD, $ b^2 = d^2 + n^2 - .\cos x \, $ , kalian dengan $ m \, $ kedua ruas $ b^ = d^ + n^ - 2dmn\cos x \, $ ....persii. *. Eliminasi persi dan persii $ \begin{array}{cc} b^ = d^ + n^ - 2dmn\cos x & \\ c^ = d^ + m^ + 2dmn\cos x & + \\ \hline b^ + c^ = d^2m+n + mnm+n & \\ b^ + c^ = d^ + & \\ d^ = b^ + c^ - & \end{array} $ Sehingga terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus $ d^ = b^ + c^ - \, $ atau $ AD^2 . BC = AC^ + AB^2 . DC - $ Pembuktian Dalil Stewart dengan dalil proyeksi Teori dalil proyeksi bisa kita baca pada materi "Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya" yang dibagi menjadi dua yaitu dalil proyeksi segitiga tumpul dan dalil proyeksi segitiga lancip. Pada gambar kita proyeksikan garis AD pada garis BD yang hasilnya adalah DE. *. Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas. khususnya adalah $ m + n = a $. *. Dalil proyeksi lancip pada segitiga BAD, $ c^2 = d^2 + m^2 - 2 . m . ED \, $ , kalian dengan $ n \, $ kedua ruas $ c^ = d^ + m^ - 2 . m .n. ED \, $ ....persiii. *. Dalil proyeksi tumpul pada segitiga CAD, $ b^2 = d^2 + n^2 + .ED \, $ , kalian dengan $ m \, $ kedua ruas $ b^ = d^ + n^ + 2 . m .n. ED \, $ ....persiv. *. Eliminasi persiii dan persiv $ \begin{array}{cc} b^ = d^ + n^ + 2 . m .n. ED & \\ c^ = d^ + m^ - 2 . m .n. ED & + \\ \hline b^ + c^ = d^2m+n + mnm+n & \\ b^ + c^ = d^ + & \\ d^ = b^ + c^ - & \end{array} $ Sehingga terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus $ d^ = b^ + c^ - \, $ atau $ AD^2 . BC = AC^ + AB^2 . DC - $ Catatan Seetelah saya mulai menyusun materi yang berkaitan dengan Dalil Stewart, ternyata saya sangat kagum dengan kegunaan dalil ini, tidak hanya untuk membuktikan panjang garis berat dan garis bagi, ternyata bisa juga digunakan untuk membuktikan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku. Ini sedikit tantangan untuk kita semua, coba selesaikan beberapa soal berikut ini, i. Coba buktikan teorema pythagaoras menggunakan dali Stewart, silahkan konstruksinya bebas. ii. Buktikan untuk sebarang jajar genjang, berlaku bahwa jumlah kuadrat sisi-sisi diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat sisi-sisinya sejajarnya. Selamat untuk mencoba bagi teman-teman yang tertarik untuk memecahkan masalah di atas. 1 Tinjauan Geometris Perbandingan vektor Dalam operasi aljabar vektor kita tidak mengenal pembagian dua vektor. Dalam hal ini kita hanya menentukan perbandingan panjang dua vektor, atau perbandingan ruas garis. Secara geometris terdapat tiga aturan perbandingan ruas garis, yaitu Catatan Bentuk a dapat dinyatakan dalam kalimat “P membagi AB di dalam dengan perbandingan m n Bentuk b dan c dapat dinyatakan dalam kalimat “P membagi AB di luar dengan perbandingan m n Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini 01. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 9 cm. Jika AP PB = 2 1, gambarlah letak titik P Jawab 02. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 4 cm. Jika AP PB = –2 1, gambarlah letak titik P Jawab 03. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 4 cm. Jika P membagi AB di luar dengan perbandingan panjang 2 3, maka gambarkanlah letak titik P Jawab 2 Tinjauan Analitis Perbandingan Vektor Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di O0,0 dan dilambangkan dengan satu huruf kecil, sehingga Sebagai contoh diketahui A2, -3, 4 maka vektor posisi a adalah a = 2 i – 3 j + 4 k Jika OA + AB = OB Sebagai contoh jika diketahui A2, -1, 6 dan B-3, 2, 4 maka Menurut rumus perbandingan ruas garis Sehingga untuk AAx, Ay, Az dan BBx ,By, Bz serta PPx, Py, Pz terletak segaris dengan AB dan memiliki perbandingan AP PB = m n, maka berlaku 04. Misalkan P, Q dan R adalah tiga titik yang segaris dan berlaku PR RQ = –2 5 maka nyatakanlah vektor r dalam p dan q Jawab 05. Jika titik A, B dan P kolinier dengan perbandingan AP PB = –4 3 maka nyatakanlah vektor a dalam p dan b Jawab 06. Diketahui dua titik A6, 5, –5 dan B2, –3, –1 serta titik P pada AB sehingga AP PB = 3 1. Tentukanlah koordinat titik P Jawab AP PB = 3 1 07. Diketahui titik P2, –1, 3 dan R2, 4, 8 serta titik Q pada PR dengan perbandingan PR QR = 5 3. Tentukanlah koordinat titik Q Jawab PR QR = 5 3 PR RQ = 5 –3 08. Diketahui tiga titik yang segaris yaitu A7, 7, –2 dan C–3, 1, 4 dan B sehingga berlaku AC = ⅔ AB. Tentukanlah koordinat titik B Jawab Dua buah vektor dikatakan segaris kolinier jika kedua vektor itu sejajar atau terletak pada satu garis yang sama.. Misalkan terdapat tiga vektor yang segaris, seperti gambar berikut ini Jadi vektor a dan b dikatakan segaris jika terdapat nilai k є Real sehingga a = k. b Sedangkan tiga titik A, B dan C dikatakan segaris jika terdapat k є Real sehingga AB = k. AC Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini 10. Manakah diantara ketiga vektor berikut ini merupakan vektor yang segaris a = 2i – 4j + 5k , b = 8i – 16j + 10k c = 6i – 12j + 15k Jawab 11. Jika vektor a = 2 i – j + x k dan b = –6i + y j + 12 k segaris, maka tentukanlah nilai x dan y Jawab 12. Diketahui tiga titik yang segaris kolinier yaitu A2, –1, p, B8, –9, 8 dan Cq, 3, 2. Tentukanlah nilai p dan q Jawab Diketahui kubus dengan panjang rusuk 12 cm. Jarak ruas garis HD dan EG adalah …. A. 6 cm B. 6√2 cm C. 6√3 cm D. 8 cm E. 8√2 cm Pembahasan Jarak ruas garis HD dan EG merupakan ½ garis HF. Perhatikan ilustrasi gambar berikut Jadi jarak ruas garis HD dan EG adalah 6√2 cm. Jawaban B - Jangan lupa komentar & sarannya Email nanangnurulhidayat